Question

已知(2x-

1

x

)n展开式中的二项式系数之和比（2x+x^lgx）²ⁿ展开式中奇数项的二项式系数之和小112，且第二个展开式中二项式系数最大的项等于1120，求第二个式子中x的值．

Answer 1

分析：令t=2ⁿ＞0，依题意，

1

2

t²-t-112=0，从而可求得t及n的值，于是，可得第二个式子为：（2x+x^lgx）⁸，依题意，利用二项展开式的通项公式可求得x^4+4lgx=1，两边取常用对数，即可求得lgx的值，继而可得x的值．

解答：解：令t=2ⁿ＞0，则

1

2

t²-t-112=0…3′
解得：t=16或t=-14（舍去），
∴2ⁿ=16⇒n=4…5′
于是，第二个式子为：（2x+x^lgx）⁸…7′
由题意得：T₅=

C

4 8

（2x）⁴（x^lgx）⁴
=1120x^4+4lgx=1120，
∴x^4+4lgx=1…9′
两边取常用对数，变形整理得：4lg²x+4lgx=0…10′
∴lgx=0或-1，
∴第二个式子中x的值为1或

1

10

…12′

点评：本题考查二项式定理的应用，令t=2ⁿ＞0，依题意，

1

2

t²-t-112=0是关键，突出考查二项展开式的通项公式，考查对数运算，属于难题．