Question

(本小题满分12分)

如图（1）是一正方体的表面展开图， 和 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将 和画出来，并就这个正方体解决下面问题.

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）求证：⊥平面；

   （Ⅲ）求二面角 的大小．

Answer 1

(本小题满分12分)

解：MN、PB的位置如右图示. ……………………………………………………（2分）

（Ⅰ）∵ND//MB且ND=MB，∴四边形NDBM为平行四边形.

∴MN//DB.

∵BD平面PBD，MN，∴MN//平面PBD.（5分）

（Ⅱ）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥QC.

又∵BD⊥AC，∴BD⊥平面AQC.

∵AQ面AQC，∴AQ⊥BD.

同理可得AQ⊥PB.

∵BDPD=B，∴AQ⊥面PDB. …………………………（8分）

（Ⅲ）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF.

∵在正方体中，PB=PD，∴PE⊥DB.

∵四边形NDBM为矩形，∴EF⊥DB.

∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角.

∵EF⊥平面PMN，∴EF⊥PF.

设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中，

∵，∴.

.…………………………（12分）

解法2：设正方体的棱长为a，以D为坐标原点建立空间直

角坐标系如图.

则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）.

∴.

∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB.

∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量.

∴.

∴.…………………………（12分）