题目内容

曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx,当x=1-时,f(x)有极小值，当x=1+处有极大值，且在x=1处切线的斜率为.

(1)求f(x)；

(2)曲线上是否存在一点P，使得y=f(x)的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵当x=1±时,f(x)有极小值及极大值,

∴f′(1±)=0,即1±为3ax2+2bx+c=0的两根.

∴

∴b=-3a,c=-6a.                                                            

又∵f(x)在x=1处切线的斜率为,

∴f′(1)=,∴3a+2b+c=.

∴a=-,b=,c=1.

∴f(x)=-x3+x2+x.                                                      

(2)假设存在P(x0,y0)，使得f(x)的图象关于P中心对称，

则f(x0+x)+f(x0-x)=2y0,

即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0,

化简得(1-x0)x2+x02+2x0-x03=2y0.

∵对于任意x∈R等式都成立,

∴

∴x0=1,y0=.易知P(1，)在曲线y=f(x)上.

∴曲线上存在P(1，)使得f(x)的图象关于点P中心对称.

练习册系列答案
相关题目
曲线y=f(x)=ax-
b
x
在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0，则a，b的值分别为（　　）
A、
a=1
b=3
B、
a=-1
b=3
C、
a=1
b=-3
D、
a=-1
b=-3
已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ）设x＞0，讨论曲线y=
f(x)
x2
与直线y=m（m＞0）公共点的个数；
（Ⅲ）设a＜b，比较f(
a+b
2
)，
f(b)-f(a)
b-a
的大小，并说明理由．
已知f(x)=
a(x-1)2
2x+b
，曲线y=f(x)与直线l：4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2，g(x)=2x-
1
3
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于一切x∈[2，5]，总存在x1∈[m，n]，使f（x）=g（x1）成立，求n-m的最小值．
（2012•黄冈模拟）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求曲线y=f(x)在x=
12
处切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=2x，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．
（2012•黔东南州一模）已知函数f（x）=x3+mx2+nx+m-1，当x=-1时取得极值，且函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐标原点，A点是x轴上横坐标为2的点，B点是曲线y=f(x)(0＜x≤
45
)上但不在x轴上的动点，求△AOB面积的最大值．

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