题目内容

如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2－14x＋4(AB＋2)＝0的两个实数根(OA＜OB)，P为直线l上异于A、B两点且在A、B之间的一动点，且PQ∥OB交OA于点Q．

(1)求直线l的斜率；

(2)当S△PAQ＝S四边形OQPB时，试确定点P在AB上的位置，并求出此时线段PQ的长；

(3)在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)根据OA2＋OB2＝AB2及根与系数的关系得OA＝6，OB＝8．所以tan∠BAO＝，即直线l的斜率为－．(2)因为S△PAQ＝S四边形OQPB，所以．所以＝，即P为AB的中点．此时，PQ＝BO＝4．(3)由已知得，直线l的方程为4x＋3y－24＝0．(*)

　　①当∠PQM＝90°时，M(0，0)．②当∠MPQ＝90°时，M．③当∠PMQ＝90°时，M．

　　综上所述，y轴上存在三个点M1(0，0)，M2和M3使△MPQ为等腰直角三角形．


练习册系列答案
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精英家教网如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的长轴AB长为4，离心率e=
3
2
，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；
（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．
精英家教网如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点． 且PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求直线lAB斜率的大小；
（2）若S△PAQ=
13
S四OQPB时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．
如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．
（1）若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S四OQPA=3S△PBQ时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M与P的坐标；若不存在，说明理由．
如图所示，已知椭圆M：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O到直线AB的距离为
12
5
，其A（0，a），B（-b，0）．直线l：x=my+n与椭圆M相交于C，D两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P（其中点C，D与点P不重合）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）试判断直线l与x轴是否交于定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

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