题目内容
如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点． 且PQ∥OB交OA于点Q．（1）求直线lAB斜率的大小；
（2）若S△PAQ=
| 1 | 3 |
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．
分析：（1）由
?AB2+8AB-180=0?AB=10，进而得到OA=6，OB=8，由此能得到直线lAB斜率的大小．
（2）由S△PAQ=
S四OQPB，知
=
，即P为AB的中点，由此能求出PQ=
BO=4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三种情况分别讨论，求出点M的坐标．
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（2）由S△PAQ=
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| 3 |
| AP |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）由已知得l方程为4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三种情况分别讨论，求出点M的坐标．
解答：解：（1）由
?AB2+8AB-180=0?AB=10
进而得
∴tan∠BAO=
．∴KAB=tan（π-∠BAO）=-tan∠BAO=-
．
（2）∵S△APQ=
S四OQPB∴S△PAQ=
S△AOB?
=(
)2=
∴
=
即P为AB的中点，∴PQ=
BO=4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24（*）
①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=
．
②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a=
．
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a=
．
综上所述，y轴上有三个点M1（0，0），M2（0，
）和M3（0，
）满足使△PMQ为等腰直角三角形．
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进而得
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| 3 |
| 4 |
| 3 |
（2）∵S△APQ=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
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| S△PAQ |
| S△AOB |
| AP |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AP |
| AB |
| 1 |
| 2 |
即P为AB的中点，∴PQ=
| 1 |
| 2 |
（3）由已知得l方程为4x+3y=24（*）
①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=
| 24 |
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②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a=
| 24 |
| 7 |
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a=
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综上所述，y轴上有三个点M1（0，0），M2（0，
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点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，注意分类讨论法的合理运用．
练习册系列答案
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如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．
如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点． 且PQ∥OB交OA于点Q．
时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；