题目内容

如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求直线l_AB斜率的大小；
（2）若S△PAQ=

S四OQPB时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．

分析：（1）由

OA+OB=14

OA•OB=4(AB+2)

?AB2+8AB-180=0?AB=10，进而得到OA=6，OB=8，由此能得到直线l_AB斜率的大小．
（2）由S△PAQ=

S四OQPB，知

，即P为AB的中点，由此能求出PQ=

BO=4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三种情况分别讨论，求出点M的坐标．

解答：解：（1）由

OA+OB=14

OA•OB=4(AB+2)

?AB2+8AB-180=0?AB=10
进而得

OA=6

OB=8.

∴tan∠BAO=

．∴K_AB=tan（π-∠BAO）=-tan∠BAO=-

．
（2）∵S△APQ=

S四OQPB∴S△PAQ=

S△AOB?

S△PAQ

S△AOB

)2=

∴

即P为AB的中点，∴PQ=

BO=4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24（*）

①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a=

．
②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a=

．
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a=

．
综上所述，y轴上有三个点M₁（0，0），M₂（0，

）和M₃（0，

）满足使△PMQ为等腰直角三角形．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，注意分类讨论法的合理运用．

练习册系列答案

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如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．
（1）若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S_四OQPA=3S_△PBQ时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M与P的坐标；若不存在，说明理由．

如图,过点P(2,1)作直线l,与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.求:

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.

如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求直线l_AB斜率的大小；
（2）若 $数学公式$ 时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．

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