Question

【题目】（本小题共13分）

已知， 或1， ，对于， 表示U和V中相对应的元素不同的个数．

（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；

（Ⅱ）令，若，求证： ；

（Ⅲ）令，若，求所有之和．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ； ………3分

（Ⅱ）证明：令，

∵或1， 或1；

当， 时，

当， 时，

当， 时，

当， 时，

故

∴

………8分

（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为

∵的共有个， 的共有个．

∴

=

= ……13分

∴= ．

法二：根据（Ⅰ）知使的共有个

∴=

=

两式相加得=

（若用其他方法解题，请酌情给分）

【解析】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义．第一问，根据，且及的意义：表示U和V中相应的元素不同的个数，可知；第二问，根据或1， ，分类讨论， 时， ；当， 时， ；当， 时， ；当， 时， ；可证， ，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使的共有个，分别计算出和，再相加即可．

试题解析：（Ⅰ） ；

（Ⅱ）证明：令，

∵或1， 或1；

当， 时，

当， 时，

当， 时，

当， 时，

故

∴

（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为

∵的共有个， 的共有个．

∴

=

=

∴= ．

法二：根据（Ⅰ）知使的共有个，

∴=

=

两式相加得=