Question

已知椭圆：的面积为π，包含于平面区域内，向平面区域内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，

记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）  为定值0

解析:

  （Ⅰ）平面区域是一个矩形区域，如图所示．      ………2分     

依题意及几何概型，可得，       ……………………3分

即 ．　　因为　，

所以，　．     

                                         ………………5分

所以，椭圆的方程为    ……6分

（Ⅱ）设直线的方程为：，

联立直线的方程与椭圆方程得：

 

（1）代入（2）得：

化简得：………（3）                    ……………8分

当时，即，

也即，时，直线与椭圆有两交点，

由韦达定理得：，                           ………………10分

所以，，

则

                         ……………13分

所以，为定值。                                     ……………14分