Question

设函数f（x）=（x＞0），数列{a_n}满足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列，k∈N^*，使得数列中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，（n∈N^*，且n≥2），知．再由a₁=1，能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=2m，m∈N*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）===．当n=2m-1，m∈N*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1==．由此入手能求出实数t的取值范围．
（3）由，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．如存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{a_nk}，k∈N^*，此时{a_nk}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{a_nk}．当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．当q=3时，，n₁=1，，．所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为．
解答：解：（1）因为，（n∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=．（2分）
因为a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为的等差数列．
所以a_n=．（4分）
（2）①当n=2m，m∈N*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅++（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-=-=-．（6分）
②当n=2m-1，m∈N*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=-=．（8分）
所以T_n=
要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
只要使-，（n为偶数）恒成立．
只要使-，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为．（10分）
（3）由a_n=，知数列{a_n}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a₁为首项，公比q为2或4的数列{a_nk}，k∈N^*，
此时{a_nk}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a₁为首项，公比为偶数的数列{a_nk}．（12分）
②当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．
当q=3时，若存在以a₁为首项，公比为3的数列{a_nk}，k∈N^*．
则=1，n₁=1，=，n_k=．
所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为n_k=．（16分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．