Question

如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

(1)求证:PB∥面EFG;

(2)求异面直线EG与BD所成的角;

(3)在线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为0.8.若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)证明:取AB的中点H,连结GH、HE.

∵E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点,∴GH∥AD∥EF.∴E、F、G、H四点共面.

又H为AB的中点,∴EH∥PB.又EH面EFG,PB平面EFG,∴PB∥面EFG.

(2)取BC的中点M,连结GM、AM、EM,则GM∥BD,∴∠EGM(或其补角)就是异面直线EG与BD所成的角.在Rt△MAE中,EM=,

同理,EG=.又GM=BD=,

∴在△MGE中,cos∠EGM=.

∴异面直线EG与BD所成的角等于arccos.

(3)假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.过点Q作QR⊥AB于R,连结RE,则QR∥AD.

∵四边形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB.又∵E、F分别是PA、PD的中点,∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.又EF面EFQ,∴面EFQ⊥面PAB.过A作AT⊥ER于T,则AT⊥平面EFQ,∴AT就是点A到平面EFQ的距离.设CQ=x(0≤x≤2),则BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,

在Rt△EAR中,AT==0.8,解得x=.故存在点Q,当CQ=时,点A到平面EFQ的距离为0.8.