题目内容

如图22,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点.

图22

(1)求证:EN∥平面PCD;

(2)求证:平面PBC⊥平面ADMN;

(3)求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.

(1)证明:∵AD∥BC,BC面PBC,AD面PBC,

∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,

∴AD∥MN.∴MN∥BC.

∴点M为PC的中点.∴MNBC.

又E为AD的中点,∴四边形DENM为平行四边形.

∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.

(2)证明:连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形,且∠BAD=60°,

∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.

又∵PA=AB且N为PB的中点,

∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.

∴平面PBC⊥平面ADMN.

(3)解:作EF⊥AB,连接PF,∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.

∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.

又在Rt△AEB中,BE=,AE=1,AB=2,∴EF=.又∵PE=,∴tan∠PFE===2,

即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网