题目内容
如图22,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,过A、D、N三点的平面交PC于M,E为AD的中点.图22
(1)求证:EN∥平面PCD;
(2)求证:平面PBC⊥平面ADMN;
(3)求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.
(1)证明:∵AD∥BC,BC面PBC,AD
面PBC,
∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,
∴AD∥MN.∴MN∥BC.
∴点M为PC的中点.∴MNBC.
又E为AD的中点,∴四边形DENM为平行四边形.
∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.
(2)证明:连接PE、BE,∵四边形ABCD为边长为2的菱形,且∠BAD=60°,
∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB.
又∵PA=AB且N为PB的中点,
∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
(3)解:作EF⊥AB,连接PF,∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF.
∴∠PFE就是平面PAB与平面ABCD所成二面角的平面角.
又在Rt△AEB中,BE=,AE=1,AB=2,∴EF=
.又∵PE=
,∴tan∠PFE=
=
=2,
即平面PAB与平面ABCD所成的二面角的正切值为2.

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