Question

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设h（x）=（a-1）x+3lnx+a．若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=ax+lnx，把a=2代入，然后求导，求出切点的斜率，从而求出曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程；
（2）根据f（x）的导数，令f′（x）=0，求出极值点，再求出去单调区间；
（3）由k（x）=f（x）-h（x），把f（x），h（x）代入，然后对k（x）求导，求出其极值点和单调区间，然后根据k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求出a的范围．

解答：解：（1）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
f'（1）=2+1=3．
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为，切点坐标（1，2）…（3分）
∴曲线y=f（x）在x=1处切线的方程为y-2=3（x-1）
即y=3x-1…（4分）
（a=0漏写，扣1分）
（2）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（6分）
②当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在区间(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在区间(-

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
∴函数f（x）的递增区间为(0，-

1

a

)，递减区间为(-

1

a

，+∞)．…（8分）
（3）∵k（x）=x-2lnx-a
∴k/(x)=

x-2

x

…（10分）
0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增      …（11分）
要使K（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，
则只需要

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

即

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-3ln2

…（13分）
则 2-2ln2＜a≤3-2ln3…（14分）

点评：此题是导数的应用，对已知函数进行求导，求出极值及单调区间，这类题是高考的热点，每年都要考，难度中等．