Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，设数列${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞9成立的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）对任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差数列．可得2a_n=S_n+2，n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2，相减可得a_n=2a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n．可得${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，利用累加求和与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵对任意的n∈N^*，都有2，a_n，S_n成等差数列．
∴2a_n=S_n+2，
∴n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2，相减可得：2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
n=1时，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n．
∴${c_n}=\frac{1}{{\sqrt{b_n}+\sqrt{{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
不等式T_n＞9即$\sqrt{n+1}$＞10，解得n≥10．
∴使不等式T_n＞9成立的最小正整数n=10．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力属于中档题．