题目内容

已知向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(2cos
x
2
，-2sin
x
2
)，且x∈(-
π
9
，
2π
9
]．
求：（1）
a
•
b
和|
a
-
b
|的取值范围；
（2）函数f（x）=
a
•
b
-|
a
-
b
|的最小值．
（1）∵
a
=（cosx，sinx），
b
=(2cos
x
2
，-2sin
x
2
)
∴a•b=cosx•2cos
x
2
+sinx•(-sin
x
2
)=2(cosx•cos
x
2
-sinx•sin
x
2
)=2cos
3x
2

又∵x∈(-
π
9
，
2π
9
]，
∴
3x
2
∈(-
π
6
，
π
3
]?cos
3x
2
∈[
1
2
，1]
∴2cos
3x
2
∈[1，2]即
a
•
b
∈[1，2]
∵|a-b|=
|a-b|2
=
(a-b)2
=
a2-2a•b+b2

=
(cos2x+sin2x)+(4cos2
x
2
+4sin2
x
2
)-2•2cos
3x
2

=
1+4-4cos
3x
2
=
5-4cos
3x
2

又∵cos
3x
2
∈[
1
2
，1]∴-4cos
3x
2
∈[-4，-2]
∴
5-4cos
3x
2
∈[1，
3
]；
（2）由（1）知：f（x）=
a
•
b
-|
a
-
b
|=2cos
3x
2
-
5-4cos
3x
2

设
5-4cos
3x
2
=t，则t2=5-4cos
3x
2
，2cos
3x
2
=
5-t2
2

∴f(x)=
5-t2
2
-t=-
1
2
t2-t+
5
2
=-
1
2
(t2+2t+1)+
5
2
+
1
2
=-
1
2
(t+1)2+3(t∈[1，
3
])
∴由图象可知：当t=
3
时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-
1
2
(
3
+1)2+3=1-
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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