Question

已知函数．

（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）试证明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在区间上是减函数;

（Ⅱ）当时，恒成立，

即在上恒成立，

构造，；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题

故在区间上是减函数;               3分

（Ⅱ）当时，恒成立，

即在上恒成立，

取，则h′(x)，       5分

再取则 

故在上单调递增，

而，

故在上存在唯一实数根，

故时，时， 

故

故                    7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

又

即：          12分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及不等式证明。

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及恒成立问题、不等式证明问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。