Question

设{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列（d≠0），其前n项的和为S_n．记b_n=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c为实数．
（1）若数列{b_n}是等差数列，求c的值．
（2）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设b_n=an+b，根据{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列（d≠0），b_n=

nSn

n2+c

，建立方程组，即可求c的值．
（2）求出数列的通项，利用放缩，再裂项求和，即可证明结论．

解答： （1）解：∵数列{b_n}是等差数列，∴设b_n=an+b，
∵{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列（d≠0），b_n=

nSn

n2+c

，
∴

n2+ n2(n-1) 2 d

n2+c

=an+b，
∴

d

2

n3+（1-

d

2

）n²=an³+bn²+cn+bc，
∴

a= d 2 b=1- d 2 ac=0 bc=0

，
若c≠0，则a=b=0，∴

d 2 =0 1- d 2 =0

矛盾，
∴c=0…（6分）
（2）证明：∵b_n=

Sn

n

=1+

n-1

2

d
又b₁，b₂，b₄成等比数列，
∴(1+

d

2

)2=1+

3

2

d，
∴d=2，
∴a_n=2n-1，b_n=n
∴

1

a1b1

+

1

a2b2

+…+

1

anbn

=

1

1×1

+

1

2×3

+…+

1

n(2n-1)

＜1+

1

2

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1+

1

2

（1-

1

n

）=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

．…（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项，考查放缩、裂项法求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．