Question

16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c=10，且$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$．
（1）证明角C=90°；    
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理，二倍角公式化简已知可得sin2A=sin2B，结合角的范围可得2A=2B，或2A+2B=π，由$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，可得A≠B，从而可求A+B=$\frac{π}{2}$，即可得解．
（2）由（1）及已知，利用勾股定理可求a，b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）在△ABC中，∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$．
∴根据正弦定理得$\frac{cosA}{cosB}=\frac{sinB}{sinA}$，整理为sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∵0＜2A，2B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π．
∵$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，A≠B，
∴A+B=$\frac{π}{2}$，即∠C=90°…（6分）
（2）∵△ABC是以角C为直角的直角三角形，且c=10，$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，a²+b²=c²，
∴可得：（$\frac{4}{3}$a）²+a²=100，
∴求得a=6，b=8．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ab=24．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．