Question

设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且数列{

Sn

}是公差为1的等差数列
（1）求S_n和通项公式a_n；
（2）通过公式bn=

Sn •an

n+c

构造一个新的数列{b_n}，当{b_n}是等差数列时，求实数c．

Answer 1

分析：（1）由正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且数列{

Sn

}是公差为1的等差数列，推导出Sn=n2，从而能求出a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）由bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，能推导出bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，由此能求出c．

解答：解：（1）∵正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1且数列{

Sn

}是公差为1的等差数列，
∴

Sn

=

S1

+(n-1)×1=n，
Sn=n2，
∴S_n-S_n-1=2n-1，n≥2，
S₁=a₁=2×1-1，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）∵bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，
∴bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，
∴2n²-n=kn²+（b+kc）n+bc，
∴

bc=0 b+kc=-1

，
解得

k=2 c=0

，或

k=2 c=- 1 2

，
故c=0，或c=-

1

2

．

点评：本题考查通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．