Question

设有两个命题：
（1）不等式|x|+|x-1|＞m的解集是R；
（2）函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是

[1，2）

．

Answer 1

分析：由绝对值得意义知，p：即 m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即 m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．

解答：解：（1）：∵不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，而|x|+|x-1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，
∴m＜1．
（2）：∵f（x）=-（7-3m）^x是减函数，
∴7-3m＞1，m＜2．
∴当 1≤m＜2时，（1）不正确，而（2）正确，两个命题有且只有一个正确，实数m的取值范围为[1，2）．
故答案为：[1，2）．

点评：本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．