题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，其中a为实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∝），f（x）＞ $数学公式$ 恒成立？若不存在，请说明理由，若在，求出a的值并加以证明．

解：（1）a=2时，f（x）= $\text{[math]}$ ，
f′（x）= $\text{[math]}$ ，f′（2）= $\text{[math]}$ ，（2分）
又f（2）=0
所以切线方程为y= $\text{[math]}$ （x-2）（2分）
（2）1°当0＜x＜1时，lnx＜0，则 $\text{[math]}$ ?a＞x- $\text{[math]}$ lnx
令g（x）=x- $\text{[math]}$ lnx，g′（x）= $\text{[math]}$ ，
再令h（x）=2 $\text{[math]}$ -2lnx，h′（x）= $\text{[math]}$
当0＜x＜1时h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上递减，
∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）= $\text{[math]}$ ＞0，
所以g（x）在（0，1）上递增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1时，lnx＞0，则 $\text{[math]}$ ?a＜x- $\text{[math]}$ lnx?＜g（x）
由1°知当x＞1时h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上递增
当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，g′（x））= $\text{[math]}$ ＞0
所以g（x）在（1，+∞）上递增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）
分析：（1）利用导数的几何意义k=f′（2），切线方程y-f（2）=k（x-2）
（2）由f（x） $\text{[math]}$ 恒成立?a $\text{[math]}$ （0＜x＜1），a $\text{[math]}$ ，构造函数 $\text{[math]}$ ，利用导数研究函数g（x）在区间（0，1）上的最大值M，在区间（1，+∞）上的最小值m，则 $\text{[math]}$
点评：本题考查了导数的几何意义及过曲线上一点的切线方程的求解，而恒成立的问题往往转化为求函数的最值问题，若a≥f（x）恒成立?a≥f（x）_max，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min，体现数学的转化思想在解题中的运用．