Question

定义F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
（1）设函数f（n）=（n∈N*），求函数f（n）的最小值；
（2）设g（x）=F（x，2），正项数列{a_n}满足；a₁=3，g（a_n+1）=，求数列{a_n}的通项公式，并求所有可能乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

解：（1）∵F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0）．
∴f（n）==，
∴==，
由于2n²-（n+1）²=（n-1）²-2，
当n≥3时，f（n+1）＞f（n）； 当n＜3时，f（n+1）＜f（n），
所以当n=3时，f（n）_min=f（3）=；…（6分）
（2）∵g（x）=F（x，2）=2^x，
∴g（a_n+1）=，
又∵g（a_n+1）==，
所以a_n+1=3a_n，而a₁=3，所以a_n=3ⁿ；…（9分）
设所求的和为S，
则S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n…（11分）
=3•3¹+（3+3²）•3²+…+（3+3²+…+3ⁿ）•3ⁿ…（12分）
=•3¹+•3²+…+•3ⁿ
=
=
=…（14分）．
分析：（1）由题意可得f（n）==，要求f（n）的最小值，只要判断f（n）的单调性，利用比较法中的比商：=，只要判断2n²与（n+1）²的大小即可判断
（2）先由 条件可求g（x）=F（x，2）=2^x，代入可得g（a_n+1）=，结合g（a_n+1）==，可得a_n+1与a_n的递推关系，进而可求通项，设所求的和为S，则S=a₁•a₁+（a₁+a₂）•a₂+…+（a₁+a₂+…+a_n）•a_n利用分组求和的可求
点评：本题主要考查了利用单调性求解函数的最值，及分组求和方法、等比数列的通项公式的应用，属于函数与数列知识的综合应用．