Question

等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，S₅=-65，S₉=-45．数列{b_n}满足b_n=|a_n|，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：由等差数列{a_n}中，S₅=-65，S₉=-45，利用等差数列的前n项和公式求出a_n=4n-2，从而得到{a_n}中前6项均小于0，从第7项（含第7项）起大于0，再由b_n=|a_n|，能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答：解：∵等差数列{a_n}中，S₅=-65，S₉=-45，
∴

5a1+ 5×4 2 d=-65 9a1+ 9×8 2 d=-45

，
解得a₁=-21，d=4，
∴a_n=-21+（n-1）×4=4n-25，
由a_n=4n-25≥0，得n≥

25

4

，
∴{a_n}中前6项均小于0，从第7项（含第7项）起大于0，
∵b_n=|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴当n≤6时，
T_n=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-[-21n+

n(n-1)

2

×4]
=-2n²+23n，
当n≥7时，
T_n=S_n-2S₆
=[-21n+

n(n-1)

2

×4]-2×（-21×6+

6×5

2

×4）
=2n²-23n+132，
∴T_n=

-2n2+23n，n≤6 2n2-23n+132，n≥7

．

点评：本题考查等差数列的前n项和的求法，解题时要熟练掌握等差数列的性质，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．