Question

如图，在直角坐标系中，有一组对角线长为的正方形，

其对角线依次放置在轴上（相邻顶点重合）.设是首项为，公差为的等差数列，点的坐标为.

（1）当时，证明：顶点不在同一条直线上；

（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点均落在抛物线上；

（3）为使所有顶点均落在抛物线上，求与之间所应满足的关系式.

Answer 1

解答：本题主要考查直线方程、直线和抛物线的位置关系以及数列的综合问题.

[证明]（1）由题意可知，，

    ∴

    ，

    ∴顶点不在同一条直线上

    （2）由题意可知，顶点的横坐标，

    顶点的纵坐标

    ∵对任意正整数，点的坐标满足方程，

    ∴所有顶点均落在抛物线上

    （3）[解法一] 由题意可知，顶点的横、纵坐标分别是

   

    消去，可得 .

    为使得所有顶点均落在抛物线上，则有

      解之，得 .

    ∴所应满足的关系式是：.

    [解法二] 点的坐标为

    ∵点在抛物线上，

    ∴.

    又点的坐标为 且点也在抛物线上，

    ，把点代入抛物线方程，解得 .

    因此，，∴抛物线方程为.

    又

    ∴有顶点落在抛物线上.

    ∴所应满足的关系式是：