Question

已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

Answer 1

(1) +=1   (2) -或

解析解:(1)设M到直线l的距离为d,

根据题意,d=2|MN|.
由此得|4-x|=2,
化简得+="1,"
所以,动点M的轨迹方程为+=1.
(2)法一　由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
将y=kx+3代入+=1中,
有(3+4k²)x²+24kx+24=0,
其中,Δ=(24k)²-4×24(3+4k²)=96(2k²-3)>0,

由求根公式得,
x₁+x₂=-,       ①
x₁x₂=.        ②
又因A是PB的中点,
故x₂=2x₁,③
将③代入①,②,得
x₁=-,
=,
可得=,
且k²>,
解得k=-或k=,
所以,直线m的斜率为-或.
法二　由题意,设直线m的方程为y=kx+3,
A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
∵A是PB的中点,
∴x₁=,①
y₁=.②
又+=1,③
+=1.④
联立①,②,③,④解得或
即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),
所以,直线m的斜率为-或.