题目内容

设a1，a2，…，an为实数，证明：
a1+a2+…+an
n
≤
a
2
1
+a
2
2
+…+
a
2
n
n
．
分析：利用排序原理，n个式子相加，可得n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得结论．
解答：证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，则由排序原理得：
a12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anan
a12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1
a12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an-1a1+ana2
…
a12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan-1．
将上述n个式子相加，得：n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，
上式两边除以n2，并开方可得：
a1+a2+…+an
n
≤
a
2
1
+a
2
2
+…+
a
2
n
n
．
点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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设A1、A2是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（　　）
A、
x2
9
+
y2
4
=1
B、
y2
9
+
x2
4
=1
C、
x2
9
-
y2
4
=1
D、
y2
9
-
x2
4
=1
10、设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（　　）
（2012•吉安县模拟）设a1，a2，…，an是正整数1，2，3…n的一个排列，令bj表示排在j的左边且比j大的数的个数，bj称为j的逆序数，如在排列3，5，1，4，2，6中，5的逆序数是0，2的逆序数是3，则由1至9这9个数字构成的所有排列中，满足1的逆序数是2，2的逆序数是3，5的逆序数是3的不同排列种数是（　　）
设A1、A2是椭圆+=1(a>b>0)长轴的两个端点,P1P2是垂直于x轴的弦,求直线A1P1、A2P2的交点P的轨迹方程.

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