Question

【题目】已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为.

（1）求轨迹的方程

（2）若轨迹上存在两个不同点，关于直线对称，求面积的最大值（为坐标原点）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据在圆内，所以圆内切于圆，则有，即，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是椭圆再求解.

（2）根据，关于直线对称，直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得，根据直线与椭圆有两个不同的交点，，的中点在直线上，得到 的取值范围，再利用 求解.

(1)因为在圆内，所以圆内切于圆，

所以

即，

所以点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，

因为，，所以，

所以点的轨迹方程为：；

（2）由题意知，可设直线的方程为，

由消去，得，

因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，①

所以中点，代入直线方程，解得，②

由①②解得，或，

令，则，

且到直线的距离为，

设的面积为，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为.