Question

已知函数f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）若f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数g(x)=

f(x)

x

，若x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，求证x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer 1

分析：（1）先求出导数：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，设u（x）=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（2）当a=1时，g(x)=

f(x)

x

=xlnx，利用导数得到g（x）在(

1

e

，+∞)上g（x）是增函数，(0，

1

e

)上是减函数从而得出lnx1＜

x1+x2

x1

ln(x1+x2)，同理lnx2＜

x1+x2

x2

ln(x1+x2)两式相加化简即可证得结论．

解答：解：（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x²，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2lnax+1-xu′(x)=

2

x

-1=0，x=2，x＞2时，单调减，
x＜2单调增，所以x=2时，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以0＜a≤

e

2

（5分）
（2）当a=1时，g(x)=

f(x)

x

=xlnx，g(x)=1+lnx=0，x=

1

e

，
所以在(

1

e

，+∞)上g（x）是增函数，(0，

1

e

)上是减函数（6分）
因为

1

e

＜x1＜x1+x2＜1，所以g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁
即lnx1＜

x1+x2

x1

ln(x1+x2)
同理lnx2＜

x1+x2

x2

ln(x1+x2)（8分）
所以lnx1+lnx2＜(

x1+x2

x2

+

x1+x2

x1

)ln(x1+x2)=(2+

x1

x2

+

x2

x1

)ln(x1+x2)
又因为2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，当且仅当“x₁=x₂”时，取等号（10分）
又x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，ln（x₁+x₂）＜0（11分）
所以(2+

x1

x2

+

x2

x1

)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂）
所以：x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴（12分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．