Question

9．已知非零向量$\overrightarrow a，\vec b$，满足$|{\overrightarrow a}|=1$且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$．
（1）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，求向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角；
（2）在（1）的条件下，求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角的夹角为θ，由$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=\frac{1}{2}$可得|$\overrightarrow{b}$|，由向量的夹角公式可得cosθ，由余弦值求出θ即可得答案，
（2）根据题意，由数量积的性质可得$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²，代入数据计算即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，设向量$\overrightarrow a，\vec b$的夹角的夹角为θ，
$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{1}{2}$，
又由$|{\overrightarrow a}|=1$，
则|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{1}{2}$，即|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则θ=45°，
（2）根据题意，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=$\frac{1}{2}$，
则$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，熟练运用向量的运算律、运算性质是解题的关键．