Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）当a=2，并且x∈[-3，3]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）在x∈（1，3）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）当a=2时函数f（x）=x²-4x+5，x∈[-3，3]
所以函数f（x）的开口方向向上且其对称轴为x=2
所以当x=2时函数f（x）有最小值f（2）=1，
当x=-3时函数f（x）有最大值f（x）=26．
所以函数f（x）的值域为[1，26]．
（II）因为f（x）在x∈（1，3）上有两个不同的零点
所以函数f（x）满足下列条件：①△=4a²-20＞0；②x₀=a∈（1，3）；③f（1）＞0；④f（3）＞0
解得
所以实数a的取值范围为．
分析：（I）由题意得：函数f（x）=x²-4x+5，x∈[-3，3]，由二次函数的性质得：当x=2时函数f（x）有最小值f（2）=1，当x=-3时函数f（x）有最大值f（x）=26．进而可得到答案．
（II）因为f（x）在x∈（1，3）上有两个不同的零点所以函数f（x）满足下列条件：①△=4a²-20＞0；②x₀=a∈（1，3）；③f（1）＞0；④f（3）＞0．
点评：解决此类问题的关键是熟悉一元二次函数的性质，对运算能力也有一定的要求．