题目内容

2．为保证APEC会议期间空气质量，城市环保局加强了对各个地区空气质量的监督力度．环保局在某工厂附近小区新设置了一台仪器用以随时监测“PM2.5”的值，仪器有三个重要的元件，若元件损坏则会引起仪器故障，已知A，B，C三个元器件损坏的概率分别为：0.1，0.2，0.3，三个元器件是否损坏互不影响，当A，B，C三个元器件中有一个损坏时，仪器发生故障的概率为0.1，有两个损坏时，仪器发生故障的概率为0.5，有三个损坏时，仪器发生故障的概率为0.9．
（Ⅰ）设X表示A，B，C三个元器件正常的个数，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）求仪器发生故障的概率．

分析 （Ⅰ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（Ⅱ）由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出仪器发生故障的概率．

解答 解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=0.1×0.2×0.3=0.006．
P（X=1）=0.9×0.2×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7=0.092，
P（X=2）=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.398，
P（X=3）=0.9×0.8×0.7=0.504．
∴X的分布列为：

 X 0 1 2 3
 P 0.006 0.092 0.398 0.504
EX=0×0.006+1×0.092+2×0.398+3×0.504=2.4．
（Ⅱ）仪器发生故障的概率：
p=0.006×0.9+0.092×0.5+0.0398×0.1=0.0912．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．

练习册系列答案
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