Question

如图，在等边△ABC中，O为边AB的中点，AB=4，D、E为△ABC的高线上的点，且，．若以A，B为焦点，O为中心的椭圆过点D，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点E的直线l与椭圆M交于不同的两点P，Q，点P在点E，Q之间，且=λ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立如图所示的直角坐标系，由已知可得D（0，1），E（0，2），则有2c=4，b=1，根据a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆的方程
（2）设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），E（0，2），则由．=λ可得x₁=λx₂，y₁=λy₂-2λ+2，由P，Q都在椭圆上，代入椭圆方程，
可得y₂与λ之间的关系，结合-1≤y₂≤1，及P在E，Q之间，又，可求λ的范围
解答：
解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
由于，，，
∴D（0，1），E（0，2）
设椭圆方程为
∴2c=4⇒c=2，b=1
即椭圆方程为；…（6分）
（2）设p（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
∵E（0，2），即．λ=
∴①…（7分）
又∵P，Q都在椭圆上
∴②…（8分）
由①②得∴
消去x₂得…（10分）
∵-1≤y₂≤1，
∴
又∵P在E，Q之间，又，
∴0＜λ＜1，
∴λ范围为．…（12分）
点评：本题考查了由椭圆的性质求解椭圆的标准方程的求法，求λ的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．