Question

如图，在等边△ABC中，O为边AB的中点，AB=4，D、E为△ABC的高线上的点，且|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|．若以A，B为焦点，O为中心的椭圆过点D，建立适当的直角坐标系，记椭圆为M．
（1）求椭圆M的方程；
（2）过点E的直线l与椭圆M交于不同的两点P，Q，点P在点E，Q之间，且

EP

=λ

EQ

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的直角坐标系，由已知可得D（0，1），E（0，2），则有2c=4，b=1，根据a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆的方程
（2）设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），E（0，2），则由

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．

EP

=λ

EP

可得x₁=λx₂，y₁=λy₂-2λ+2，由P，Q都在椭圆上，代入椭圆方程，
可得y₂与λ之间的关系，结合-1≤y₂≤1，及P在E，Q之间，又

EP

=λ

EQ

，可求λ的范围

解答：
解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
由于|

OC

|=2

3

|

OD

|，|

OC

|=

3

|

OE

|，|

OD

|=

1

2 3

|

OC

|=1，|

OE

|=

1

3

|

OC

|=2
∴D（0，1），E（0，2）
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)
∴2c=4⇒c=2，b=1a=

5

即椭圆方程为

x2

5

+y2=1；…（6分）
（2）设p（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
∵E（0，2），即

EP

=(x1，y1-2)，

EQ

=(x2，y2-2)．λ

EQ

=

EP

∴

x1=λx2 y1-2=λ(y2-2)

⇒

x1=λx2 y1=λy2-2λ+2

①…（7分）
又∵P，Q都在椭圆上
∴

x12 5 +y^2=1 x22 5 + y 2 2 =1

②…（8分）
由①②得∴

(λx2)2 5 +(λy2-2λ+2)2=1 x22 5 + y 2 2 =1

消去x₂得(λy2-2λ+2)2-λ2

y

2 2

=1-λ2⇒y2=

5λ-3

4λ

…（10分）
∵-1≤y₂≤1，
∴

1

3

≤λ≤3
又∵P在E，Q之间，又

EP

=λ

EQ

，
∴0＜λ＜1，
∴λ范围为[

1

3

，1)．…（12分）

点评：本题考查了由椭圆的性质求解椭圆的标准方程的求法，求λ的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意合理地进行等价转化．