Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x），求出f′（x），令f′（x）＞0和f′（x）＞0，求解即可得到f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据函数f（x）在[1，2]上是减函数，可得f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，转化为2x²+ax-1≤0在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x²+ax-1，利用二次函数的性质，列出关于a的不等式组，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+ax-lnx，a∈R，
∴当a=1时，f（x）=x²+x-lnx，（x＞0）
∴f′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

=

2(x- 1 2 )(x+1)

x

，
令f′（x）＞0，解得x＞

1

2

，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2

，
∴f（x）的单调递增区间为（

1

2

，+∞），单调递减区间为（0，

1

2

）；
（Ⅱ）∵f（x）=x²+ax-lnx，（x＞0）
∴f′（x）=2x+a-

1

x

=

2x2+ax-1

x

∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
∵x＞0，
∴2x²+ax-1≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，
∴

h(1)≤0 h(2)≤0

，即

2+a-1≤0 2×22+2a-1≤0

，
∴

a≤-1 a≤- 7 2

，
∴a≤-

7

2

，
∴实数a的取值范围为a≤-

7

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．