Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长为3，AA₁=，D为CB延长线上一点，且BD=BC。

（1）求证：直线BC₁∥面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积。

Answer 1

解：（1）证明：∵CD∥C1B1， 又BD=BC=B1C1， ∴四边形BDB1C1是平行四边形 ∴BC1∥DB1 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D ∴直线BC1∥平面AB1D。
（2）过B作BE⊥AD于E，连结EB1， ∵BB1⊥平面ABD ∴B1E⊥AD ∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角 ∵BD=BC=AB ∴E是AD的中点， ∴BE=AC=  在Rt△B1BE中，tan∠B1EB= ∴∠B1EB=60° 即二面角B1-AD-B的大小为60°。 （3）过A作AF⊥BC于F， ∵BB1⊥平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BB1C1C， ∴ AF⊥平面BB1C1C且AF= ∴== = = 即三棱锥C1-ABB1的体积为。