题目内容
已知f(x)=x3＋x(x∈R)，(1)判断f(x)在(-∞，＋∞)上的单调性，并证明；
(2)求证：满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个.
思路解析：证明二次函数在给定区间上的单调性时，变形的主要手段是配方，通过配方达到判断符号的目的.
(1)解：设x1＜x2，即x1-x2＜0,∴f(x1)-f(x2)=(x13+x1)-(x23+x2)=(x13-x23)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)=(x1-x2)［(x1+
)2+
x23+1］＜0.
∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).因此f(x)=x3+x在R上是增函数.
(2)证明：假设x1＜x2且f(x1)=f(x2)=a,由f(x)在R上递增,∴f(x1)＜f(x2)，此与f(x1)=f(x2)矛盾.∴原命题正确.
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