Question

【题目】已知函数f（x）= ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0处的切线与x﹣y+3=0垂直．
（1）若函数f（x）在[ ，1]存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（2）若f′（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求a的取值范围；
（3）在第二问的前提下，证明：﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1

由前可知，f'（x）=ax2﹣ex

根据题意：f'（x）＞0在 上有解，即ax2﹣ex＞0在 上有解

即 在 上有解，令 ，故只需

所以 ，所以，当 时，g'（x）＜0，所以g（x）在 上单调递减，

所以g（x）min=g（1）=e，所以 a＞e

（2）解：令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex

由题可知，h'（x）=0有两个根x1，x2，即2ax﹣ex=0有两个根x1，x2，

又x=0显然不是该方程的根，所以方程 有两个根，

设φ（x）= ，则φ′（x）= ，当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；

当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x＞1时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．

故要使方程2a= 有两个根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞ ，

所以a的取值范围是（ ，+∞）

（3）解：由（2）得：0＜x1＜1＜x2

且由h'（x1）=0，得2ax1﹣ =0，所以a= ，x1∈（0，1）

所以f′（x1）=h（x1）=a ﹣ = （ ﹣1），x1∈（0，1），

令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），则r′（t）=et（ ）＜0，

r（t）在（0，1）上单调递减，

所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣ ＜f′（x1）＜﹣1．

【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为 在 上有解，令 ，故只需 ，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令h（x）=f'（x），则h（x）=ax2﹣ex ， 问题转化为方程 有两个根，设φ（x）= ，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出f′（x1）= （ ﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（ ﹣1），（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．