Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinA-csinC=（a-b）sinB
（1）求角C的大小；
（2）求cosA+cosB的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．
（2）通过C的值，得到A+B的值，利用两角和的余弦函数求出cosA+cosB=sin（A+）．根据A+的范围，求出sin（A+）的范围，得到结果．
解答：解：（1）由已知，根据正弦定理，asinA-csinC=（a-b）sinB
得，a²-c²=（a-b）b，即a²+b²-c²=ab．
由余弦定理得cosC==．
又C∈（0，π）．所以C=．
（2）由（1）知A+B=，则．
cosA+cosB=cosA+cos
=cosA+coscosA+sinsinA
=cosA+sinA
=sin（A+）．
由可知，，
所以sin（A+）≤1．
所以cosA+cosB的取值范围（]．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法，以及两角和的余弦函数的应用，考查计算能力．