Question

【题目】设函数

当时，求函数的单调区间；

令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

当时，令若与的图象有两个交点,求证：

Answer 1

【答案】（1）单增区间为单减区间为.（2）（3）见解析

【解析】

试题（1）先求导函数,再求导函数在定义区间上零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函调单调区间（2）先根据导数几何意义得不等式,再利用参变分离法将不等式转化为对应函数最值最大值 ,根据二次函数最值求得实数的取值范围；(3)本小题较难,需作两次构造:一是消去a，构造以为自变量的函数，根据导数得其单调性，利用基本不等式得到二是构造利用导数易得单调性，可得，即得

试题解析：解：（1）定义域为，

，

令解得，令解得，

∴的单增区间为单减区间为.

(2)

∴即

令，∴在上单调递增，

∴∴，∴

(3)定义域

∴①，②

①+②得即，③

①-②得即，④

由③④得，不妨设，记，

令∴

∴在上单调递增，∴

∴即∴

∴

∴即

令∴∴在上单调递增.

又∴

即∴