Question

已知以动点P为圆心的圆与直线y=-相切，且与圆x²+（y-）²=外切．
（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同两点，且 m²+n²=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．
（1）求直线L斜率k的取值范围；
（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据动点P为圆心的圆与直线y=-相切，且与圆x²+（y-）²=外切，建立方程，即可求动P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）（1）求得直线L斜率，根据M，N两点不同，m²+n²=1且m≠n，可得（m+n）²＜2（m²+n²）=2，即可求得结论；
（2）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由=0，求得a的范围，即可求得离心率的范围．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则有…（2分）
化简得：x²=y                        …（4分）
（II）（1）因为直线MN的斜率为=m+n
∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线L斜率k=-…（6分）
∵M，N两点不同，m²+n²=1且m≠n，∴（m+n）²＜2（m²+n²）=2
∴0＜|m+n|＜
∴|k|＞
∴k＜-或k＞   …（8分）
（2）l方程为：y-=k（x-），
又m²+n²=1，m+n=-，∴l方程为：y=kx+1代入抛物线和椭圆方程并整理得：x²-kx-1=0①；（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0②，易知方程①的判别式＞0恒成立，方程②的判别式
∵，a＞0，∴＞0恒成立              …（10分）
∵R（），S（）
∴由=0得-k²+a（+1）=0
∴a==2-＞2-=
∴
∵=e，∴a=2-2e²＞
∴e²＜
∴0＜e＜             …（14分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．