Question

已知正三棱锥的高为1，底面边长为2

6

，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．

Answer 1

分析：

(1)由题可知，PH=1，取BC的中点E，

连接HE、PE，则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．

解答：解：

(1)由题可知，PH=1，取BC的中点E，

连接HE、PE，
则HE=

2

，侧面的高PE=

3

，
S_全=3×

1

2

×2

6

×

3

+

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=9

2

+6

3

．
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，
∴

1-R

3

=

R

2

，
∴R=

6

-2．

点评：本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．