题目内容

（1）若n（n∈N*）个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并说明理由；
（2）若n（n∈N*）个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n的最小值，并说明理由．
分析：（1）由2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，可得n=4时满足条件，进而分析出n=1，n=2，n=3均不存在满足条件的分解方法，可得答案；
（2）由20022005≡42005≡4668×3+1≡（43）668×4≡4（mod9），当x∈N*时，x3≡0，±1（mod9），x13精英家教网4（mod9），x13+x23精英家教网4（mod9），x13+x23+x33精英家教网4（mod9），可得n=1，n=2，n=3均不存在满足条件的分解方法，而20022005=20022004×（103+103+1+1）=（2002668×10）3+（2002668×10）3+（2002668）3+（2002668）3．因此n=4为所求的最小值．
解答：解：（1）因为103=1000，113=1331，123=1728，133=2197，
123＜2005＜133，
故n≠1．
因为2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，所以存在n=4，满足题意；                   
若n=2，由103+103＜2005，得较大正文体边长大于11且小于13，即为11或12
∵2005-113=674，2005-123=277，
而674 与277均不是完全立方数，
故n≠2
若n=3，设此三个正方体中最大一个的棱长为x，由83+83+83＜2005，得较大正文体边长大于8且小于13，即为9或10或11或12
由于2005-2×93=547，不是完全立方数
2005-93-2×83＞0，故x=9不满足要求；
同理可证x=10，x=11，x=12均不满足要求；
故n≠3
综上所述，n的最小值为4．
（2）设n个正方体的棱长分别是x1，x2，…，xn
则x13+x23+…+xn3=20022005…⑤
由2002≡4（mod9），43≡1（mod9），
20022005≡42005≡4668×3+1≡（43）668×4≡4（mod9）…⑥
又当x∈N*时，x3≡0，±1（mod9），
所以x13精英家教网4（mod9），x13+x23精英家教网4（mod9），x13+x23+x33精英家教网4（mod9），…⑦
由 ⑥、⑦可知，n≥4．
而2002=103+103+1+1，则
20022005=20022004×（103+103+1+1）
=（2002668×10）3+（2002668×10）3+（2002668）3+（2002668）3．
因此n=4为所求的最小值．
点评：本题考查的知识点是逻辑推理，本题难度较大，运算强度和思路都不易得到，属于难题．
练习册系列答案
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对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin(
π
2
n)时，{yn}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同时为0），且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（an+1）2．
①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．
（3）设数列{an}满足an+2=-an+1-an（n∈N*），a1=1，a2=2，bn=an+1，数列{bn}的前n项和Sn，试问是否存在p、q，使对任意的n∈N*都有p≤
Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．
对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}的k阶差分数列．
（1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？
（2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
lim
n→∞
Sn+n-2
n•3n
的值．
设函数f（x）=x2+bln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（2）求证：
1
23
+
2
33
+
3
43
+…
n-1
n3
＜ln(n+1)(n∈N*)．
对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xn+m=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列，当yn=sin(
π
2
n)时，{yn}的周期为4的周期数列．
（1）设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an（n∈N*），a1+a，a2=b（a，b不同时为0），且数列{an}是周期为3的周期数列，求常数λ的值；
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①若an＞0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由；
②若anan+1＜0，试判断数列{an}是否为周期数列，并说明理由．
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Sn
n
≤q成立，若存在，求出p、q的取值范围；不存在，说明理由．

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