Question

19．已知f（x）是R上的偶函数，若在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，且有f（a+1）＜f（2a-1），则实数a的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 由导数与函数单调性的关系、偶函数的性质判断出f（x）的单调性，将f（a+1）＜f（2a-1）等价转化，列出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：因为在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
因为f（x）是R上的偶函数，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，
则f（a+1）＜f（2a-1）等价于f（|a+1|）＜f（|2a-1|），
所以|a+1|＞|2a-1|，两边平方得0＜a＜2，
所以实数a的取值范围是（0，2），
故答案为（0，2）．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系、偶函数的性质，以及转化思想，属于中档题．