Question

【题目】如图，四棱锥的底面是边长为的正方形， 底面， 分别为的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角 的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）满足条件的 存在，是 中点

【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要结合平几知识，如本题取PD中点M，利用三角形中位线性质得，再结合平行四边形性质得四边形EFMA为平行四边形，从而得出EF∥AM，（2）涉及二面角问题，一般利用空间向量进行解决，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，结合向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角的关系列等量关系，求出待定参数

试题解析：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，

在△PCD中，F为PC的中点，∴，

正方形ABCD中E为AB中点，∴，∴，

故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，

又∵EF平面PAD，AM平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：

如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0， ，0），F（， ，1），

由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），

假设存在Q满足条件：设，

∵，∴， ，λ∈，

设平面PAQ的法向量为，

由，可得，

∴，

由已知： ，解得： ，

所以满足条件的Q存在，是EF中点．