Question

【题目】四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知， 为正三角形．

（1）证明．

（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析．（2）二面角的余弦值为．

【解析】

（1）作于点，连接，根据面面垂直性质可得底面ABCD，由三角形全等性质可得，进而根据线面垂直判定定理证明平面，即可证明.

（2）根据所给角度和线段关系，可证明以均为等边三角形，从而取中点，连接，即可由线段长结合余弦定理求得二面角的大小.

（1）证明：作于点，连接，如下图所示：

因为侧面底面ABCD，

则底面ABCD，

因为 为正三角形，则,

所以，即，

又因为，

所以，而,

所以平面，

所以.

（2）由（1）可知，，，

所以，

又因为，所以，即为中点.

由等腰三角形三线合一可知，

在中，由等腰三角形三线合一可得，

所以均为边长为2的等边三角形，

取中点，连接，如下图所示：

由题意可知，即为二面角的平面角，

所以在中由余弦定理可得

，

即二面角的余弦值为．