Question

设f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=

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2

，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切实数x都成立，证明你的结论．

Answer 1

分析：先由已知条件求出f（x）的解析式，然后证明x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切实数x都成立即可．

解答：解：由f（1）=

7

2

，得a+b+c=

7

2

．令x²+

1

2

=2x²+2x+

3

2

?x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+

3

2

推得f（-1）≤

3

2

，
由f（x）≥x²+

1

2

推得f（-1）≥

3

2

，
∴f（-1）=

3

2

．
∴a-b+c=

3

2

．故a+c=

5

2

且b=1．
∴f（x）=ax²+x+

5

2

-a．
依题意ax²+x+

5

2

-a≥x²+

1

2

对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=

3

2

．
∴f（x）=

3

2

x²+x+1．
证明如下：

3

2

x²+x+1-2x²-2x-

3

2

=-

1

2

x²-x-

1

2

=-

1

2

（x+1）²≤0．
∴

3

2

x²+x+1≤2x²+2x+

3

2

对x∈R都成立．
∴存在实数a=

3

2

，b=1，c=1，
使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切x∈R都成立．

点评：本题考查了函数恒成立问题，难度一般，关键是先求出f（x）的解析式再证明．