Question

【题目】已知函数的图象在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）首先求出函数的定义域与导函数，然后根据题意及导数的几何意义建立关于m和n的方程求解即可；

（2）首先将不等式化为，然后构造函数，通过研究新函数的单调性求得其最小值，从而根据恒成立求得正整数t的最大值.

（1）函数的定义域为，，

所以有，解之得，

故函数的解析式为：；

（2）可化为，

因为，所以，

令（），则由题意知对任意的，，

而，，

再令（），则，

所以在上为增函数，

又，，

所以存在唯一的，使得，即，

当时，，，所以在上单调递减，

当时，，，所以在上单调递增，

所以，

所以，

又，所以，

因为t为正整数，所以t的最大值为4.