Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
当x=1时，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=

1

x

-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立．
设g（x）=x2-

lnx

x

，则g′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤

1

3

；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]单调递减，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

时，
（ⅰ）当-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F(a)=-f(

a

)=2a

a

．
综上  F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．