Question

已知数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1-a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1，分别代入，即可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1-a_n，可求数列{b_n}的通项，从而可求前n项和，进一步可以证明S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）
解答：（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足：，2a_n+1=a_na_n+1+1
∴n=1时，2a₂=a₁a₂+1，∴
n=2时，2a₃=a₂a₃+1，∴
n=3时，2a₄=a₃a₄+1，∴；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即，
则n=k+1时，∵2a_n+1=a_na_n+1+1
∴=
即n=k+1时，结论成立
由①②可知；
（Ⅲ）解：由a_nb_n=1-a_n，可得
∴S₁+S₂+…+S_n-1═（n-1）+
=n++…+-1×（n-1）=n（1++…+-1）=n（S_n-1）
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查等式的证明，解题的关键是由递推式得出数列的通项．