Question

【题目】已知椭圆：，该椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是圆上任意一点，由引椭圆的两条切线，，当两条切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值.

Answer 1

【答案】(1) .(2)见解析.

【解析】

（1）由椭圆经过点，可以求出的值，由离心率为，可知的关系，结合之间的，可以求出的值，这样就求出椭圆的标准方程；

（2）设，且.点引椭圆的切线方程可设为，

与椭圆方程联立，让根的判断式为零，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，可以证明出两条切线斜率的积为定值.

（1）由题意得，解得，.

∴椭圆的标准方程为.

（2）设，且.

由题意知，过点引椭圆的切线方程可设为，

联立化简得.

∵直线与椭圆相切，

∴，

化简得.

∴.

∴两条切线斜率的积为定值.