Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且满足a²+b²=ab+4，C=

π

3

．
（1）A≠

π

2

时，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积；
（2）求△ABC的面积等于

3

的一个充要条件．

Answer 1

分析：（1）先对sinC+sin（B-A）=2sin2A化简整理求得sinB=2sinA进而根据正弦定理求得b=2a，与题设等式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得答案．
（2）先看当△ABC的面积等于

3

，利用三角形面积公式求得ab的值，与题设等式联立求得a和b，推断出△ABC为正三角形求得c；同时看当，△ABC是边长为2的正三角形可求得三角形面积为

3

，进而看推断出△ABC的面积等于

3

的一个充要条件．

解答：解：（1）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
由cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
联立方程组

a2+b2=ab+4 b=2a

解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．
所以△ABC的面积S=

1

2

absinC=

2 3

3

（2）若△ABC的面积等于

3

，则

1

2

absinC=

3

，得ab=4．
联立方程组

a2+b2=ab+4 ab=4

解得a=2，b=2，即A=B，又C=

π

3

，
故此时△ABC为正三角形，故c=2，即当三角形面积为

3

时，△ABC是边长为2的正三角形
反之若△ABC是边长为2的正三角形，则其面积为

3

故△ABC的面积等于

3

的一个充要条件是：△ABC是边长为2的正三角形．

点评：本题主要考查了解三角形问题，正弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．