Question

在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C．
（1）在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率；
（2）在△ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．

Answer 1

分析：（1）欲求AM＜AC的概率，先求出M点可能在的位置的长度，AC的长度，再让两者相除可得答案；
（2）由于过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，故可以认为所有可能结果的区域为∠ACB，可将事件A构成的区域为∠ACC'，以角度为“测度”加以计算，可得本题答案．

解答：解：（1）在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为

2

，
在AB上取点D，使AD=1，则若M点在线段AB上，满足条件．
∵AD=1，AB=

2

，
∴AM＜AC的概率为P₁=

AD

AB

=

2

2

．
（2）在AB上取AC'=AC，则∠ACC′=

180°-45°

2

=67.5°．
则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC'．
∵∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴AM＜AC的概率为P₂=

67.5°

90°

=

3

4

．
答：（1）在斜边AB上任取一点M，则AM＜AC的概率是

2

2

；
（2）在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为

3

4

．

点评：本题给出等腰Rt△ABC，求在两种取法下使得AM＜AC的概率．着重考查了几何概型及其应用的知识，属于中档题．解题时注意题意中的“测度”，准确把握“测度”是解决问题的关键．